先看一个定积分的计算:

其中第一个等式利用了等式

arcsin(sinx)=x 。

这个计算正确吗？

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我们知道，如果g(x)是f(x)的反函数，则

g(f(x))=x。

那么，既然arcsinx 是sinx 的反函数，

就应该有 arcsin(sinx)=x。

果真如此吗？

我们试两个函数值。

当x=π/6时，

arcsin(sin(π/6))= arcsin(1/2) =π/6，

等式arcsin(sinx)=x 成立。

当x=5π/6时，

arcsin(sin(5π/6))= arcsin(1/2) =π/6，

等式arcsin(sinx)=x 不成立。

这是什么原因呢？

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原来arcsinx 是sinx在区间[-π/2, π/2]上的反函数。[-π/2, π/2]也是arcsinx 的值域。

所以，当x∈[-π/2, π/2]时，

等式arcsin(sinx)=x 一定成立；

当x不在区间[-π/2, π/2]时，

这个等式就不成立了。

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求y=arcsin(sinx) (-π≤x≤π)的表达式。

下面来计算前面那个定积分。

注意:

用数学软件验证一下

川大徐小湛 2019/3/30